Question

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，且平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求异面直线ME 与 BN 所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）连结MD，则ND⊥平面ABCD，∠DMN是直线MN与面ABCD所成角，由此能求出直线MN与平面ABCD所成角的正弦值．
（2）在CD的延长线上取点G，使DG=DC，再以DG为公共边作正方形DGUA及DGVF，H，K分别为GV，NH的中点，连结MK，EK，四边形BMKN为平行四边形，从而∠EMK为异面直线BN与ME所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线ME与BN所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如图，连结MD，
∵平面ABCD⊥平面DCEF，ND⊥CD，ND?平面DCEF，
面ABCD∩平面DCEF=CD，
∴ND⊥平面ABCD，
∴∠DMN是直线MN与面ABCD所成角，
设CD=a，则ND=

a

2

，MN=

6

2

a，
∴sin∠DMN=

6

6

．
∴直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为

6

6

．
（2）如图，在CD的延长线上取点G，使DG=DC，
再以DG为公共边作正方形DGUA及DGVF，
H，K分别为GV，NH的中点，连结MK，EK，
∵NK∥CD，NK=

1

2

CD，
∴四边形BMKN为平行四边形，
∴BN∥MK，∴∠EMK为异面直线BN与ME所成角，
设CD=a，则ME=BN=MK=

3

2

a，EK=

10

2

a，
由余弦定理，得cos∠EMK=

9 4 a2+ 9 4 a2- 10 4 a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

4

9

，
∴异面直线ME与BN所成角的余弦值为

4

9

．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．