Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=

3

，点F是PD中点，点E是DC边上的任意一点．
（Ⅰ）当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）证明：无论点E在DC边的何处，都有AF⊥FE；
（Ⅲ）求三棱锥B-AFE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与平面之间的位置关系,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；
（Ⅱ）通过证明AF⊥平面PCD即可解决；
（Ⅲ）利用换底法求V_F-ABE即可．

解答： （Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC；

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵AD∩AP=A，
∴CD⊥平面PAD，
又AF?平面PAB，
∴AF⊥CD．
又PA=AD，点F是PD的中点，
∴AF⊥PD，
又∵CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD．
∵EF?平面PCD，∴AF⊥EF；

（Ⅲ）解：作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且FG=

1

2

，
∴VB-AFE=VF-ABE=

1

3

S△ABEFG=

3

12

，
∴三棱锥B-AFE的体积为

3

12

．

点评：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．