Question

已知函数f（x）=

a

x

+2lnx-1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=

2x-1

x2

，从而确定f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增，
（Ⅱ）分别讨论①a≤0时，②0＜a＜2e时，③a≥2e时的情况，从而求出最小值．

解答： 解：∵f′（x）=

2x-a

x2

，
（Ⅰ）a=1时，f′（x）=

2x-1

x2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

2

，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增，
（Ⅱ）①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）在（0，e）无最小值，
②0＜a＜2e时，
由（Ⅰ）得：
f（x）_min=f（

a

2

）=1+2ln

a

2

，
③a≥2e时，
由（Ⅰ）得：
f（x）_min=f（e）=

a

e

+1．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．