Question

若对任意实数x，都有f（x）=log_a（2+e^x-1）≤-1，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：先对a进行分类讨论：当a＞1时，由log_a（2+e^x-1）≤-1，不可能对任意的实数x恒成立；当0＜a＜1时，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得出2+e^x-1的最小值≥

1

a

，从而求得a的取值范围．

解答： 解：当a＞1时，由log_a（2+e^x-1）≤-1，得：
2+e^x-1≤

1

a

，由于2+e^x-1→+∞，故2+e^x-1≤

1

a

，不可能对任意的实数x恒成立；
当0＜a＜1时，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得：
2+e^x-1≥

1

a

，
故2+e^x-1的最小值≥

1

a

，
即

1

a

≤2，
∴a≥

1

2

，
∴

1

2

≤a＜1，
故答案为：[

1

2

，1）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．