Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD边长为4的正方形，PA=PD=2$\sqrt{2}$，平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅰ）求证：AP⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点E，使得三棱锥E-BCD的体积为$\frac{8}{3}$，若存在，求出$\frac{PE}{ED}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∴PA²+PD²=AD²，得AP⊥DP．由平面PAD⊥平面PCD得CD⊥面PAD，即可证得AP⊥平面PCD．
（Ⅱ）三棱锥E-BCD的体积为V=$\frac{1}{3}{s}_{△BCD}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×h=\frac{8}{3}$，得h=1；在△ADP中，边AD上的高就是P到面ABCD的距离d，而d=$\frac{1}{2}AD=2$，可得$\frac{PE}{ED}$=1．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD=2\sqrt{2}}\\{AD=4}\end{array}\right.$，∴PA²+PD²=AD²，∴AP⊥DP．
∵$\left\{\begin{array}{l}{面PAD⊥面ABCD}\\{面PAD∩面ABCD=AD}\\{CD?面ABCD}\\{CD⊥AD}\end{array}\right.$，∴CD⊥面PAD，
又∵AP?面ADP，∴AP⊥CD，
且CD∩PD=D，
∴AP⊥平面PCD．
（Ⅱ）如图，设三棱锥E-BCD的高为h，
三棱锥E-BCD的体积为V=$\frac{1}{3}{s}_{△BCD}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×h=\frac{8}{3}$，得h=1．
在△ADP中，边AD上的高就是P到面ABCD的距离d，而d=$\frac{1}{2}AD=2$，
∴E是边PD的中点，∴$\frac{PE}{ED}$=1．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．