Question

如图是一个从A→B的”闯关”游戏．规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1，2，3，4的均匀的正四面体．在过第n（n=1，2，3）关时，需要抛掷n次正四面体，如果这n次面朝下的数字之和大于2ⁿ，则闯关成功．
（1）求闯第一关成功的概率；
（2）记闯关成功的关数为随机变量X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）抛一次正四面体面朝下的数字有1，2，3，4四种情况，大于2的有两种情况，由此能求出闯第一关成功的概率．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）抛一次正四面体面朝下的数字有1，2，3，4四种情况，
大于2的有两种情况，
∴闯第一关成功的概率p=

1

2

．
（2）记事件“抛掷n次正四面体，这n次面朝下的数学之和大于2ⁿ”为事件A_n，
则P（A₁）=

1

2

；
抛掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示：
∴P（A₂）=

10

16

=

5

8

，
设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为：x，y，z，
考虑x+y+z＞8的情况，
当x=1时，y+z＞7有1种情况，
当x=2时，y+z＞6有3种情况，
当x=3时，y+z＞5有6种情况，
当x=4时，y+z＞4有10种情况，
∴P（A₃）=

1+3+6+10

43

=

5

16

，
由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A1

）=

1

2

，
P（X=1）=P（A1

.

A2

）=

1

2

×

3

8

=

3

16

，
P（X=2）=P（A1A2

.

A3

）=

1

2

×

5

8

×

11

16

=

55

256

，
P（X=3）=P（A₁A₂A₃）=

1

2

×

5

8

×

5

16

=

25

256

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 2	3 16	55 256	25 256

EX=0×

1

2

+1×

3

16

+2×

55

256

+3×

25

256

=

233

256

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．