Question

设

a

=（1，

3

），

b

=（cos2x，sin2x），f（x）=2

a

•

b

（1）求函数f（x）的单调递增区间
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=4sin（2x+

π

6

），由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由正弦函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=2（cos2x+

3

sin2x）=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=4sin（2x+

π

6

）…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）…（5分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（6分）
∴当x=

π

6

时，函数f（x）的最大值为4…（8分）
当x=

π

2

时，函数f（x）的最大值为-2…（10分）

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．