Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，则2a₆+a₅的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等比数列的通项公式化简2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，得到a₁（2q+1）=

8

q2-1

，化简2a₆+a₅并把上式代入，设x=

1

q2

，则函数y=

1

q2

-

1

q4

=x-x²，配方后根据二次函数的性质求出最大值，从而求出2a₆+a₅的最小值．

解答： 解：由题意知等比数列{a_n}中a_n＞0，则公比q＞0，
因为2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，所以2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，则a₁（2q+1）（q²-1）=8，
则a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
所以2a₆+a₅=2a₁•q⁵+a₁•q⁴=q⁴•a₁（2q+1）=q⁴•

8

q2-1

=

8

1 q2 - 1 q4

，
设x=

1

q2

，则x＞0，y=

1

q2

-

1

q4

=x-x²=-（x-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
所以

1

q2

-

1

q4

取最大值

1

4

时，

8

1 q2 - 1 q4

取到最小值32，
故答案为：32．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及二次函数的性质，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．