Question

【题目】已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图所示：不妨取渐近线，易知，设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，得到，根据距离相等得到直线：，联立方程得到，代入双曲线方程，计算得到答案.

如图所示：不妨取渐近线，易知，（否则不能与右支相交）.

则直线为：，即，

设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，

的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，

到直线的距离为：，

设直线：，即

到直线的距离为：，

化简整理得到，解得或，

当时，直线与的交点横坐标为，不满足题意，舍去.

故直线：，故，，

联立方程得到，解得，

代入双曲线方程得到：，化简整理得到：，故.

故答案为：；.