Question

【题目】已知抛物线，过点且互相垂直的两条动直线、与抛物线分别交于、和、.

（1）求的取值范围；

（2）记线段和的中点分别为、，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的表达式，然后利用导数可求得的最小值；

（2）求出线段的中点的坐标，进而可得出点的坐标，可求得直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标.

（1）由题意可知两直线、的斜率一定存在，且不等于.

设，，，则.

联立直线与抛物线的方程，有，

其中，由韦达定理，有.

所以.

设.

因为，又因为.

所以在定义域内单调递增，易得，

即当时，；当时，.

所以时，单调递减；，单调递增，

所以在处取得最小值，且当时，.

故的最小值为，因此，的取值范围是；

（2）因为由（1）有，，

所以中点E的坐标为，同理点F的坐标为.

于是，直线的斜率为，

则直线的方程为，

所以直线恒过定点.