题目内容
【题目】在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，点
在棱
上.
若为的中点，证明：
.
若
与平面
所成角的正弦值为
，求
.
【答案】
证明见解析；
.
【解析】
取
的中点
，连接
，
.利用勾股定理求证
，进而得
，最后证出
.
以为坐标原点，的方向为
轴正方向，
的方向为
轴正方向，的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
，设
，设平面
的法向量为
，根据
与平面所成角的正弦值为
，列式求得
，进而求
.
解：证明：取的中点，连接，.因为
，所以
.
又因为平面
平面
，且相交于，所以
平面，
所以
.
因为
，所以，
所以
，所以，
所以
，且
为
的中点，所以.
解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得
，
，
，
，
，
设，
则
.
设平面的法向量为.
由
，
，得
，
可取
，
所以
，
解得
（舍去），，则
所以
.
【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量
（百件）与月份
之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程
，并预测6月份该商场空调的销售量；
（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据：线性回归方程，其中
，
.
【题目】某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价
（单位：元/件）及相应月销量
（单位：万件），对近5个月的月销售单价
和月销售量
的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价 | 9 |
| 10 |
| 11 |
月销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（Ⅰ）建立关于的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过
万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程
，其中
，
．
参考数据：
，
．