题目内容

7．已知函数f（x）=3x+4x-8的零点在区间[k，k+1]（k∈Z）上，则函数g（x）=x-kex的极大值为（　　）
A．-3B．0C．-1D．1

分析 根据函数f（x）的零点的范围求出k的值，求出g（x）的解析式，根据函数的单调性从而求出g（x）的极大值即可．

解答 解：∵f′（x）=3xln3+4＞0，
∴f（x）在R递增，
而f（1）=-1＜0，f（2）=9＞0，
故f（x）在[1，2]有零点，
故k=1，
故g（x）=x-ex，
g′（x）=1-ex，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，
令g′（x）＜0，解得：x＞0，
故g（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
故g（x）的极大值是g（0）=-1，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．

练习册系列答案
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17．如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，$AB=\frac{1}{2}AC=1$，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ
（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）求线段A'N长度的最小值．
18．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于150°．
15．设实数x1、x2是函数$f（x）=|{lnx}|-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的两个零点，则（　　）
A．x1x2＜0B．0＜x1x2＜1C．x1x2=1D．x1x2＞1
2．已知全集U=R，集合A={x|x＜-4，或x＞1}，B={x|-3≤x-1≤2}，
（Ⅰ）求A∩B、（∁UA）∪（∁UB）；
（Ⅱ）若{x|2k-1≤x≤2k+1}⊆A，求实数k的取值范围．
12．若f（x）=xsinx，则函数f（x）的导函数f′（x）等于（　　）
A．1-sinxB．x-sinxC．sinx+xcosxD．cosx-xsinx
19．已知集合M={（x，y）|y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$，y≠0}，N={（x，y）|y=-x+b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（　　）
A．（-5，5$\sqrt{2}$]B．[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]C．[-5，5]D．[-5$\sqrt{2}$，5）
12．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，求二面角E-AF-C的余弦值．
13．若椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，则m的值为（　　）
A．$\frac{20}{3}$B．$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{3}$C．$\frac{15}{4}$D．$\frac{20}{4}$

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