Question

17．如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，$AB=\frac{1}{2}AC=1$，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ
（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）求线段A'N长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）设MA=MA'=x，则MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函数可求；
（2）求线段A'N长度的最小值，即求线段AN长度的最小值，利用三角恒等变换化简，从而求最值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠B=90°，$AB=\frac{1}{2}AC=1$，
∴∠C=30°，∠BAC=60°，∠AMN=120°-θ，…（2分）
设MA=MA′=x，则MB=1-x．在Rt△MBA′中，cos∠BMA′=$\frac{1-x}{x}$，
即cos[180°-2（120°-θ）]=cos（2θ-60°）=$\frac{1-x}{x}$，
∴MA=x=$\frac{1}{1+cos（2θ-60°）}$=$\frac{1}{2co{s}^{2}（θ-30°）}$，…（5分）
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，
∴45°＜120°-θ＜90°，
∴30°＜θ＜75°．                                         …（6分）
（2）由（1）知，在△AMN中，∠ANM=θ，∠AMN=120°-θ，
由正弦定理有$\frac{AN}{sin（120°-θ）}=\frac{AM}{sinθ}$，
∴A′N=AN=$\frac{AMsin（120°-θ）}{sinθ}$=$\frac{sin（120°-θ）}{2co{s}^{2}（θ-30°）sinθ}$       …（8分）
=$\frac{sin[90°+（30°-θ）]}{2co{s}^{2}（θ-30°）sinθ}$=$\frac{cos（30°-θ）}{2co{s}^{2}（θ-30°）sinθ}$=$\frac{1}{2cos（θ-30°）sinθ}$
=$\frac{1}{2sinθ（cosθcos30°+sinθsin30°）}$=$\frac{1}{\sqrt{3}sinθcosθ+si{n}^{2}θ}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ-\frac{1}{2}cos2θ}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}+sin（2θ-30°）}$，…（10分）
∵30°＜θ＜75°，
∴30°＜2θ-30°＜120°，当且仅当2θ-30°=90°，
即θ=60°时，A′N有最小值$\frac{2}{3}$．                              …（12分）

点评 本题主要考查在实际问题中建立三角函数模型，从而利用三角函数中研究最值的方法解决最值问题，应注意角的范围的确定是关键，属于中档题．