题目内容
6．已知函数f（x）=x3+ax2+1（a∈R），试讨论函数f（x）的单调性．分析 求出f（x）的导函数，分解因式后，根据a＞0，a=0和a＜0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．
解答 解：∵f（x）=x3+ax2+1，a∈R
∴f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
①当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜-$\frac{2a}{3}$，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
∴f（x）=x3+ax2的增区间为（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞），减区间为（-$\frac{2a}{3}$，0）．
②当a=0时，由f′（x）=3x2≥0恒成立，∴函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增．
③当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{2a}{3}$，或x＜0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，
∴f（x）=x3+ax2的增区间为（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞），减区间为（0，$\frac{2a}{3}$）．
点评 此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．
练习册系列答案
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