Question

14．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．当|OP|=|OM|时，则直线l的斜率（　　）

• A． k=3
• B． k=-3
• C． k=$\frac{1}{3}$
• D． k=-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 圆心为C（0，4），半径为4．设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，从而M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．当|OP|=|OM|时，x²+y²=8，由P在以（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，知|CP|=|CM|，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4．
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
当|OP|=|OM|时，x²+y²=8，
∵P（2，2）满足M的轨迹方程，即P在以（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，
∴|CP|=|CM|，
∴直线l的斜率k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OC}}$=-$\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查直线的斜率的求法，考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．