Question

15．已知函数f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|
（1）当a=2时，求满足f（x）≥g（2）的x的值．
（2）当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质得到关于x的不等式，解出即可；
（2）根据绝对值的性质得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵|2x-2|+2≥|2×2-1|=3，∴|2x-2|≥1，
2x-2≥1或2x-2≤-1，∴x≥$\frac{3}{2}$或x≤$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a=|a-1|+a，
当且仅当（2x-a）（2x-1）≤0时”=“成立，
∴|a-1|+a≥3恒成立，
∴a≥2，
则a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．