Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，两个焦点分别为F₁，F₂，M是椭圆上一点，且△MF₁F₂的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M（1，

3

2

），则是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足

PA

•

PB

=

PM

²．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由

c

a

=

1

2

，2a+2c=6求出a，c的值，再由a²=b²+c²可得到a，b的值，进而得到椭圆的方程；
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k（x-2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由

PA

•

PB

=

PM

²可确定k的值，从而得解．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=11（a＞b＞0），
∵e=

c

a

=

1

2

，且2a+2c=6，解得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）+1，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，
得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得k＞-

1

2

，
又x1+x2=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
∵

PA

•

PB

=

PM

²，即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）（1+k²）=|PM|²=

5

4

．
即[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

．
∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-2•

8k(2k-1)

3+4k2

+4](1+k2)=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

．
解得k=±

1

2

．
∵A，B为不同的两点，
∴k=

1

2

．
于是存在直线l满足条件，其方程为y=

1

2

x．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，是压轴题．