Question

若a∈[2，6]，b∈[0，4]，
（1）求关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0有实数根的概率；
（2）求关于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0没有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）求出方程x²-2ax+b²=0有实数根的等价条件，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：（1）若一元二次方程x²-2ax+b²=0有实数根，则△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²，∴a≥b，
作出对应的平面区域如图1：
则E（2，2），F（4，4），B（6，4），C（6，0），D（2，0），A（2，4），
对应正方形ABCD的面积S=4×4=16，
五边形BCDEF的面积S=16-

1

2

×2×2=14，
则方程x²-2ax+b²=0有实数根的概率P=

SBCDEF

SABCD

=

14

16

=

7

8

．
（2）若关于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0，则△=4（a-2）²-4（16-b²）＜0，即（a-2）²+b²＜16，
作出不等式组对应的平面区域如图2：
则扇形ADC的面积S=

1

4

×π×42=4π
则由几何概型的概率公式可得方程x²-2（a-2）x-b²+16=0没有实根概率P=

4π

16

=

π

4

．

点评：本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键，注意利用数形结合进行求解．．