Question

1．已知 a∈R，函数 f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）证明：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）若f（x）为奇函数，求：
①a的值；
②f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）证法一：设x₁＜x₂，作差比较作差可得f（x₁）＜f（x₂），根据函数单调性的定义，可得：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
（2）①若f（x）为奇函数，则 f（0）=0，解得a的值；
②根据①可得函数的解析式，进而可得f（x）的值域．

解答 证明：（1）证法一：设x₁＜x₂，
则${2}^{{x}_{1}}+1＞0$，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}＜0$
则f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
证法二：∵函数 f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
∴f′（x）=$\frac{ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）①若f（x）为奇函数，
则 f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
②f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{{2^x}+1}}$＜1，
故-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，难度中档．