Question

6．已知首项为3的数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{2ⁿ•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，能证明数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列．
（2）由数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，${b}_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}n+\frac{1}{6}$．由此利用错位相减法能求出数列{2ⁿ•b_n}的前n项和．

解答 证明：（1）∵首项为3的数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
又$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列．
（2）∵数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，
∴${b}_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}n+\frac{1}{6}$．
∴数列{2ⁿ•b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{6}×2+\frac{3}{6}×{2}^{2}+\frac{5}{6}×{2}^{3}$+…+（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2ⁿ，①
2T_n=$\frac{1}{6}×{2}^{2}+\frac{3}{6}×{2}^{3}+\frac{5}{6}×{2}^{4}+…+（\frac{n}{3}-\frac{1}{6}）×{2}^{n+1}$，②
①-②，得：-T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×2²+$\frac{1}{3}×{2}^{3}$+$\frac{1}{3}×{2}^{4}$+…+$\frac{1}{3}×{2}^{n}$-（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（$\frac{n}{3}-\frac{1}{6}$）×2^n-1
=（$\frac{1}{2}-\frac{n}{3}$）×2ⁿ⁺¹-1，
∴T_n=（$\frac{n}{3}-\frac{1}{2}$）×2ⁿ⁺¹+1．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．