题目内容
12．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，且线段AB的中点为M（2，2）．（1）求抛物线的C的方程；
（2）求直线l的方程．
分析 （1）依题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线焦点坐标求得p，则抛物线方程可求；
（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合线段AB的中点为M的坐标得答案．
解答 解：（1）依题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
∵焦点为F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，得p=2．
∴所求抛物线方程为y2=4x；
（2）设直线l的方程为x-2=t（y-2），与抛物线y2=4x联立，
得y2=8+4ty-8t，∴y2-4ty+8t-8=0．
利用根与系数的关系可得yA+yB=4t，又AB的中点（2，2），
∴4t=2×2，解得t=1．
∴直线l的方程为：x-y=0．
点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
4．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{10}}{10}$ | B． | $\frac{1}{5}$ | C． | $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x+\frac{7}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]\\{x^3}+ln（\sqrt{3}e-x），x∈（\frac{1}{2}，\frac{7}{4}）\\-x+2，x∈[\frac{7}{4}，2]\end{array}$，若${x_1}∈[0.\frac{1}{2}]$，x2=f（x1），x1=f（x2），则x1=（ ）
| A． | $\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}-1}}{6}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |