Question

3．已知命题p：对任意x∈（0，+∞），log₄x＜log₈x，命题q：存在x∈R，使得tanx=1-3^x，则下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∧（￢q）
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧q

Answer 1

分析 根据对数的运算性质，可得当x＞1时，log₄x＜log₈x不成立，即p为假命题．当x=0时，tanx=1-3^x=0，即q是真命题，再由复合命题真假判断的真值表，可得答案．

解答 解：∵${log_4}x=\frac{lgx}{lg4}\;\;，\;\;{log_8}x=\frac{lgx}{log8}\;\;，\;\;\frac{1}{lg4}＞\frac{1}{lg8}$，
∴当x＞1时，$\frac{lgx}{lg4}＞\frac{lgx}{lg8}$，即log₄x＞log₈x，
即p为假命题．
当x=0时，tanx=1-3^x=0，
即q是真命题，
从而（?p）∨q为真命题．
p∧q，（￢p）∧（￢q），p∧（￢q）均为假命题，
故选：D．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数的运算性质，方程根的个数，复合命题，难度中档．