Question

14．三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，若x+y=4，则三棱锥O-ABC的体积的最大值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得x＞0，y＞0，x+y=4，由基本不等式，得xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=4，由此能示出三棱锥O-ABC的体积的最大值．

解答 解：∵三棱锥O-ABC中，OA=x，OB=y，x+y=4，
∴x＞0，y＞0，x+y=4，
由基本不等式，得：
xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=4，
∵OA，OB，OC两两互相垂直，OC=1，
∴三棱锥O-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×OA×OB×OC=\frac{1}{6}xy≤\frac{2}{3}$，
三棱锥O-ABC的体积的最大值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．