Question

18．已知函数f（x）=alnx+$\frac{6}{x}$（a∈R）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果函数g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，讨论函数y=f（x）-$\frac{5}{x}$零点的个数．

Answer 1

分析 （1）利用导数几何意义求切线方程；（2）函数在某区间单调减，则导数在该区间小于等于0恒成立，在用恒成立问题的处理方法求解；（3）结合函数图象找函数零点个数．

解答 解：函数函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当当a=2时，f′（x）=$\frac{2}{x}-\frac{6}{{x}^{2}}$，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=-4，切点为（1，6），
所以切线方程为：y-6=（-4）×（x-1），即4x+y-10=0为所求切线方程．
（2）因为函数g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递减⇒g′（x）=$\frac{a}{x}-\frac{6}{{x}^{2}}-2$≤0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{6}{x}+2x$在（0，+∞）恒成立，$\frac{6}{x}+2x$$≥2\sqrt{\frac{6}{x}•2x}=4\sqrt{3}$，a$≤4\sqrt{3}$，
故实数a的取值范围是[4$\sqrt{3}$，+∞）．
（3）函数h（x）=f（x）-$\frac{5}{x}$=alnx+$\frac{1}{X}$，
（3）f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

即有f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）
（ⅰ）当0＜a＜e时，f（x）_min＞0，即有f（x）在定义域内无零点；
（ⅱ）当a=e时，f（x）_min=0，则f（x）在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当a＞e时，f（x）_min＜0，
①由f（1）=1＞0，所以f（x）在增区间（$\frac{1}{a}，+∞）$内有唯一零点；
②f（$\frac{1}{{a}^{2}}$）═a（a-2lna），设h（a）=a-2lna，则h′（a）=1-$\frac{2}{a}$
因为a＞e，所以h'（a）＞0，即h（a）在（e，+∞）上单调递增，
即有h（a）＞h（e）＞0，即，所以f（x）在减区间内有唯一的零点．
则a＞e时f（x）在定义域内有两个零点．
综上所述：当0＜a＜e时，f（x）在定义域内无零点；
当a=e时，f（x）在定义域内有唯一的零点；
当a＞e时，f（x）在定义域内有两个零点．

点评 本题考查了函数导数的几何意义、单调性与导数的关系及函数零点个数判定，属于中档题．