Question

12．等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=2，则a₁=a₂-d=1，根据等差数列的通项公式即可求得a_n=2n-1，由S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，当n=1时，b₁=$\frac{2}{3}$，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，即可求得数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知：c_n=a_n+b_n=（2n-1）+$\frac{2}{{3}^{n}}$，根据等比数列及等差数列前n项和公式，采用分组求和，即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设 等差数列{a_n} 公差为d，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{9-3}{5-2}$=2，
a₁=a₂-d=1，
由等差数列通项公式可知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
数列{a_n}的通项公式：a_n=2n-1；
由S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，
令n=1，得b₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（1-$\frac{1}{2}$b_n）-（1-$\frac{1}{2}$b_n-1），
b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1-$\frac{1}{2}$b_n，整理得：$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴b_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
当n=1时，成立，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）c_n=a_n+b_n=（2n-1）+$\frac{2}{{3}^{n}}$，
求数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{（1+2n-1）n}{2}$+$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=n²+1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
数列{c_n}的前n项和T_n，${T_n}={n^2}+1-\frac{1}{3^n}$．

点评 本题考查等差及等比数列通项公式及前n项和公式，考查数列的分组求和，考查计算能力，属于中档题．