Question

9．已知二次函数f（x）图象的对称轴是直线x=2，且f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． [2，4]

Answer 1

分析 先确定函数的解析式，再根据f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵二次函数f（x）的对称轴为直线x=2，故可设函数解析式为f（x）=a（x-2）²+h，
∵f（2）=1，f（0）=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{4a+h=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{h=1}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1
令$\frac{1}{2}$（x-2）²+1=3，则x=0或x=4
∵f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，
∴实数m的取值范围是[2，4]．
故选：D．

点评 本题考查二次函数的性质，考查函数的解析式，解题的关键是确定函数的解析式．