Question

17．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是两个非零向量，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$=$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=2$，则向量$\vec b•（\vec a-\vec b）$为-6．

Answer 1

分析 根据条件，可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，并以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，从而$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，这样便可得到平行四边形OACB为菱形，∠AOB=120°，从而可求得AB=$2\sqrt{3}$，而$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$，且$|\overrightarrow{OB}|=2，|\overrightarrow{BA}|=2\sqrt{3}$，$＜\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{BA}＞=150°$，从而可求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$的值，即得出$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$的值．

解答 解：∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2$；
∴作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，如图所示：

则，△OAC，△OBC都是等边三角形；
∴∠AOB=120°，且OA=OB=2；
∴$AB=2\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$
=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$
=$|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{BA}|cos150°$
=$2×2\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=-6．
故答案为：-6．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的几何意义，三角函数的定义，向量减法的几何意义，以及数量积的计算公式．