Question

设函数f（x）=（x²-8x+c₁）（x²-8x+c₂）（x²-8x+c₃） （x²-8x+c₄），集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂…，x₇}⊆N⁺，设c₁≥c₂≥c₃≥c₄，则c₁-c₄（　　）

• A、9
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：易知f（x）=0的根由x²-8x+c₁=0，x²-8x+c₂=0，x²-8x+c₃=0，x²-8x+c₄=0得到，并且它们的根分别关于直线x=4对称，依此可以计算这些根的和，则问题即可解决．

解答： 解；由题意原方程的根由x²-8x+c₁=0，x²-8x+c₂=0，x²-8x+c₃=0，x²-8x+c₄=0得到．
因为这些方程所对应的函数对称轴相同，故这些根成对关于x=4对称．又因为{x₁，x₂…，x₇}⊆N⁺，
所以根都是正整数，因此它们的根分别为1，7；2，6；3，5；4，4．
结合根与系数的关系，所以c的值为1×7=7，2×6=12，3×5=15，4×4=16．
结合c₁≥c₂≥c₃≥c₄，所以c₁=7，c₄=16，所以c₄-c₁=9．
故选A．

点评：本题考查了函数与方程的关系，实际上是一元二次方程与二次函数的关系，要注意韦达定理的应用．