Question

将函数y=

1+2 3 x-x2

-1（x∈[0，2

3

]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线AA₁=BC=AB=2都是一个函数的图象，则α的最大值为

 

．

Answer 1

考点：旋转变换

专题：函数的性质及应用,矩阵和变换

分析：本题可以将曲线方程化简，得到相应的一个圆的方程，得知原函数图象是圆的一部分，通过旋转变换，根据图象特征，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=

1+2 3 x-x2

-1（x∈[0，2

3

]），
∴(x-

3

)2+(y+1)2=4，x∈[0，2

3

]），y∈[-1，1]．
原函数图象是以C（

3

，-1）为圆心，半径为2的圆的一总分．
过原点O作圆C的切线l，
∵kOC=

-1-0

3 -0

=-

3

3

，
∴kl=-

1

kOC

=

3

．
∴直线l的倾斜角为

π

3

，
∴旋转直线l与y轴重合时，θ=

π

6

．
∴α的最大值为

π

6

．

点评：本题考查了曲线的方程，曲线的切线，还考查了函数图象的概念，本题难度不大，属于基础题．