Question

5．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，若ab＞cd，证明：
（Ⅰ）$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}+\sqrt{d}$；
（Ⅱ）|a-b|＜|c-d|．

Answer 1

分析 （I）两边平方比较大小即可得出结论；
（II）两边平方，结合a+b=c+d，ab＞cd得出结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
a+b=c+d，ab＞cd，
∴（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²．
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$．
（Ⅱ）（a-b）²=（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd=（c-d）²．
∴|a-b|＜|c-d|．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于基础题．