Question

15．若函数f（x）=ax³+3x²-x在R上是减函数，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，-3]
• C． [3，+∞）
• D． （-3，3）

Answer 1

分析 求出f（x）的导函数，由函数在R上是减函数，得到导函数恒小于0，导函数为开口向下且与x轴最多有一个交点时，导函数值恒小于0，即a小于0，根的判别式小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答 解：由f（x）=ax³+3x²-x，得到f′（x）=3ax²+6x-1，
因为函数在R上是减函数，所以f′（x）=3ax²+6x-1≤0恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，由△=36+12a≤0，解得a≤-3，
则a的取值范围是（-∞，-3]．
故选：B．

点评 此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的思想解决实际问题，是一道中档题．