Question

14．已知等差数列{a_n}，如果a₄=7，a₈=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2ⁿ+a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1，运用分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₄=7，a₈=15．
可得a₁+3d=7，a₁+7d=15，
解得a₁=1，d=2，
则a_n=2n-1，n∈N*；
（2）b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1，
即有前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+3+…2n-1）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n，
化简可得${S_n}={n^2}+{2^{n+1}}$-2．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．