Question

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．

解答： （Ⅰ）证明：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有

BE

BA

=

DE

CA

，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…（5分）
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6-t）×6=2t•（2t+6），即2t²+9t-18=0，
解得t=

3

2

或-6（舍去），则AD=

3

2

．…（10分）

点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．