Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，且f（x）+4=0的解集为{x|x=1}
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[a，a+4]上存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）中由题意读出二次函数的顶点坐标，代入顶点坐标公式求出b，c的值，从而求出二次函数表达式；（2）中找出零点，解不等式组，求出a的范围．

解答： 解：（1）由f（x）+4=0的解集为{x|x=1}，
∴f（x）的顶点坐标为：（1，-4），
∴

- b 2 =1 4c-b2 4 =-4

，
解得：b=-2，c=-3．
∴f（x）=x²-2x-3，
（2）由（1）得函数与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴

a+4≥-1 a≤3

，
解得：-5≤a≤3．
∴a的取值范围是：[-5，3]．

点评：本题考察了二次函数的性质，顶点坐标公式，函数的零点，是一道中档题．