Question

命题p：不等式

1-x2

＜x+a在区间[-1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R⁺，使不等式ax²-x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：通过三角换元我们可以求出命题p不等式

1-x2

＜x+a在区间[-1，1]上恒成立，及利用基本不等式求出命题q：存在x∈R⁺，使不等式ax²-x+2a＜0成立时，a的取值范围，根据“p或q为真”，“p且q为假”，结合复合命题的真值表，可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围

解答： 解：当p为真命题时，不等式

1-x2

＜x+a在区间[-1，1]上恒成立，
令x=cosθ，θ∈[0，π]，则

1-x2

=sinθ，…（2分）
故有a＞sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)对θ∈[0，π]恒成立，
所以a＞(

2

sin(θ-

π

4

))max，
因为∵θ∈[0，π]，
∴θ-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴θ-

π

4

=

π

2

，即θ=

3π

4

时，
(

2

sin(θ-

π

4

))max=

2

，此时x=-

2

2

，
故a＞

2

．…（6分）
当q为真命题时，不等式ax²-x+2a＜0有正实数解，
即不等式a＜

x

x2+2

有正实数解，
所以a＜(

x

x2+2

)max，
而当x＞0时，

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 x• 2 x

=

1

2 2

=

2

4

，当且仅当x=

2

x

即x=

2

时取“=”．
所以a＜

2

4

．…（9分）
由“p或q为真”，“p且q为假”得p与q是一真一假，
当p真q假时，有

a＞ 2 a≥ 2 4

，即a＞

2

．…（11分）
当p假q真时，有

a≤ 2 a＜ 2 4

即a＜

2

4

．…（13分）
综上得，实数a的取值范围是：(-∞，

2

4

)∪(

2

，+∞)．…（14分）

点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了不等式恒成立问题，考查根据基本不等式求最值，属于一道中档题．