Question

11．已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求实数a的值，只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为0即可求得a；
（2）欲使y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，只需kx=e^x（x²-2x-2）有三解，将k分离，研究另一侧函数的图象性质，结合图象可求出k的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•e^x•（x-$\frac{2}{a}$）（x+2）．
∵曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，
由导数的几何意义得f′（2）=0，
∴a=1．
∴实数a的值为：1．
（2）∵y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点
∴kx=e^x（x²-2x-2）有三解，即k=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x-2）}{x}$
而令g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x-2）}{x}$则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}-{x}^{2}-2x+2）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）（{x}^{2}-2）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0解得x=1或$±\sqrt{2}$
当x＜-$\sqrt{2}$时，g′（x）＜0，当-2＜x＜0时，g′（x）＞0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0
∴当x=-$\sqrt{2}$时函数取极小值g（-2）=-3e^-2，当x=1时，函数取极大值g（1）=-3e，
当x=2时，函数取极小值g（2）=-e²，画出函数图象
结合函数的图象可知-e²＜k＜-3e或-3e^-2＜k＜0

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于难题．