Question

6．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}={\overrightarrow{OB}^2}+{\overrightarrow{CA}^2}={\overrightarrow{OC}^2}+{\overrightarrow{AB}^2}$，则O点的轨迹一定通过△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{AC}$用$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$表示，代入已知向量等式整理得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
∴由${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}={\overrightarrow{OB}^2}+{\overrightarrow{CA}^2}={\overrightarrow{OC}^2}+{\overrightarrow{AB}^2}$，得
${\overrightarrow{OA}}^{2}+（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）^{2}={\overrightarrow{OB}}^{2}+（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）^{2}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}+（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）^{2}$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
即$\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）=\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）=\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}$，
则OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D．

点评 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，是中档题．