Question

20．在△ABC中，若$A=\frac{π}{3}，tanB=\frac{1}{2}，AB=2\sqrt{3}+1$，则BC=$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由tanB的值大于0，且B为三角形的内角，根据同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由C=π-（A+B），利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简sjnC，利用正弦定理即可求出BC的长．

解答 解：∵tanB=$\frac{1}{2}$＞0，且B为三角形的内角，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}}{10}$，
又AB=$2\sqrt{3}+1$，
∴根据正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$得：BC=$\frac{ABsinA}{sinC}$=$\frac{（2\sqrt{3}+1）×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}}{10}}$=$\sqrt{15}$．
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．