题目内容
已知F1是椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=4y共同的焦点，M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
．
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）已知点P是椭圆C1上的动点，GH是圆x2+（y+1）2=1的直径，试求
•
的最大值；
（3）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上的点P满足
+
=λ
，求实数λ的取值范围．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| 5 |
| 3 |
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）已知点P是椭圆C1上的动点，GH是圆x2+（y+1）2=1的直径，试求
| PG |
| PH |
（3）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上的点P满足
| OA |
| OB |
| OP |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=
，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足
•
=λ
=(x1+x2，y1+y2)，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围．
（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=
| 2t |
| 1-t2 |
| OA |
| OB |
| OP |
解答：
解：（1）由已知F1（0，1），
∴a2-b2=1，①
设M（x0，y0），（x0＜0），
则|MF1|=y0+1=
，解得y0=
，x02=4y0=
，
∴
+
=1．②
由①②得a2=4，b2=3．
故椭圆的方程为
+
=1．
（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），
∵GH是圆的直径，
∴x1x2+y1y2=0．
设P（x3，y3），则
=(x1-x3，y1-y3)，
=(x2-x3，y2-y3)，
∴
•
=x1x2+y1y2-x3(x1+x2)-y3(y1+y2)+x32+y32；
又GH的中心是（0，-1），
∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而
+
=1，
∴x32=3-
y32，
∴
•
=
y32+2y3+3=
(y3+4)2-1，
又∵-2≤y3≤2，
∴当y3=2时，
•
最大，并且最大值为8．
（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，
∴
=1⇒k=
，（t≠0）．③
将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得
（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
，y1+y2=k（x1+t）+k（x2+t）=k（x1+x2）+2kt=
，
∵
•
=λ
=(x1+x2，y1+y2)，
∴P（-
，
），
又P在椭圆
+
=1上，
∴
+
=1，解得λ2=
，
将③代入整理得：λ2=
（t≠0）
∴0＜λ2＜4，
∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．
∴a2-b2=1，①
设M（x0，y0），（x0＜0），
则|MF1|=y0+1=
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴
| 4 |
| 9a2 |
| 8 |
| 3b2 |
由①②得a2=4，b2=3．
故椭圆的方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 4 |
（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），
∵GH是圆的直径，
∴x1x2+y1y2=0．
设P（x3，y3），则
| PG |
| PH |
∴
| PG |
| PH |
又GH的中心是（0，-1），
∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而
| x32 |
| 3 |
| y32 |
| 4 |
∴x32=3-
| 3 |
| 4 |
∴
| PG |
| PH |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
又∵-2≤y3≤2，
∴当y3=2时，
| PG |
| PH |
（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，
∴
| |kt+1| | ||
|
| 2t |
| 1-t2 |
将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得
（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
| 6k2t |
| 4+3k2 |
| 8kt |
| 4+3k2 |
∵
| OA |
| OB |
| OP |
∴P（-
| 6k2t |
| (4+3k2)λ |
| 8kt |
| (4+3k2)λ |
又P在椭圆
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 4 |
∴
| 12k4t2 |
| (4+3k2)2λ2 |
| 16k2t2 |
| (4+3k2)2λ2 |
| 4k2t2 |
| 4+3k2 |
将③代入整理得：λ2=
| 4 | ||||
(
|
∴0＜λ2＜4，
∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．
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