题目内容
在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B（-2，0），C（2，0），且AD为BC边上的高．
（1）求AD中点G的轨迹方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与（1）中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使
•
恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．
（1）求AD中点G的轨迹方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与（1）中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使
| PE |
| QE |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）设G（x，y），则A（x，2y），结合B，C的坐标求得
，
的坐标，代入
•
=0求得AD中点G的轨迹方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使
•
恒为定值，由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系结合
•
恒为定值λ列关于m，λ的方程组，求得λ的值得答案．
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（2）假定存在定点E（m，0），使
| PE |
| QE |
| PE |
| QE |
解答：
解：（1）设G（x，y），则A（x，2y），而B（-2，0），C（2，0），
∴
=(-2-x，-2y)，
=(2-x，-2y)．
由
•
=0，得
+y2=1(y≠0)，即为中点G的轨迹方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使
•
恒为定值．
由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，
于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），
将x=ky+1代入
+y2=1(y≠0)，得（k2+4）y2+2ky-3=0．
显然△＞0，
y3+y4=-
，y3y4=-
．
∵
=(x3-m，y3)，
=(x4-m，y4)，
则
•
=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
=(1+k2)y3y4+k(1-m)(y3+y4)+m2-2m+1
=
．
若存在定点E（m，0），使
=λ为定值（λ与k值无关），
则必有
，解得m=
，λ=
．
∴在x轴上存在定点E（
，0），使
•
恒为定值
．
∴
| AB |
| AC |
由
| AB |
| AC |
| x2 |
| 4 |
（2）假定存在定点E（m，0），使
| PE |
| QE |
由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，
于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），
将x=ky+1代入
| x2 |
| 4 |
显然△＞0，
y3+y4=-
| 2k |
| k2+4 |
| 3 |
| k2+4 |
∵
| EP |
| EQ |
则
| EP |
| EQ |
=(1+k2)y3y4+k(1-m)(y3+y4)+m2-2m+1
=
| (m2-4)k2+4m2-8m+1 |
| k2+4 |
若存在定点E（m，0），使
| (m2-4)k2+4m2-8m+1 |
| k2+4 |
则必有
|
| 17 |
| 8 |
| 33 |
| 64 |
∴在x轴上存在定点E（
| 17 |
| 8 |
| PE |
| QE |
| 33 |
| 64 |
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，体现了“设而不求”的数学解题思想方法，是压轴题．
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