Question

已知函数y=

3+2x-x2

+lg（1-x）的定义域为M
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=4^x-2^x+2的最大值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的解析式可得可得

1-x＞0 3+2x-x2≥0

，求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）当x∈[-1，1）时，令t=2^x，则 t∈[

1

2

，2），f（x）=t²-4t=（t-2）²-4，再利用二次函数的性质求得函数的最大值．

解答： 解：（1）由函数y=

3+2x-x2

+lg（1-x），可得

1-x＞0 3+2x-x2≥0

，求得-1≤x＜1，
故函数的定义域为[-1，1）．
（2）当x∈[-1，1）时，令t=2^x，则 t∈[

1

2

，2），f（x）=t²-4t=（t-2）²-4，
故当t=

1

2

时，函数取得最大值为

9

4

-4=-

7

4

．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．