Question

设△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）cosB+bcosC=0
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

3

，试求

AB

•

BC

的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（I）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中等式得到2sinAcosB+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式得sin（B+C）=sinA＞0，代入前一个等式求得cosB=-

1

2

，结合B∈（0，π）可得B=

2π

3

．
（II）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，算出a²+c²-ac=12，再利用基本不等式求出：当a=c时ac的最大值为4．由此结合数量积的公式加以计算，可得

AB

•

BC

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，（2a+c）cosB+bcosC=0
∴根据正弦定理，可得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴sinA（2cosB+1）=0，可得2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

又∵B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，b=2

3

，
∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=12，
又∵a²+c²≥2ac，∴12=a²+c²-ac≥ac．
由此可得：当且仅当a=c时，ac的最大值为4．
∵

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos（π-B）=accos

π

3

=

1

2

ac，
∴当且仅当a=c时，

AB

•

BC

的最大值为2．

点评：本题已知三角形ABC的边角式，求角B的大小，并依此求向量数量积的最大值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、向量的数量积公式与基本不等式等知识，属于中档题．