题目内容
已知三角形ABC中满足条件：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），试判断该三角形的形状．
考点：三角形的形状判断
专题：计算题,解三角形
分析：利用两角和公式对等式进行化简整理，求得
=
，利用正弦定理转化成角的正弦，进而约分求得sin2A=sin2B，进而确定A，B的关系，确定三角形的形状．
| sinAcosB |
| cosAsinB |
| a2 |
| b2 |
解答：
解：∵（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B）．
∴（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB）=（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a2cosAsinB=b2sinAcosB，
即：
=
=
，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=
∴△ABC是等腰△或Rt△．
∴（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB）=（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a2cosAsinB=b2sinAcosB，
即：
| sinAcosB |
| cosAsinB |
| a2 |
| b2 |
| sin2A |
| sin2B |
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=
| π |
| 2 |
∴△ABC是等腰△或Rt△．
点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式和诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin2A=sin2B，是解题的关键，属于中档题．
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