Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≤8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：（1）利用函数零点将绝对值去掉，将函数转化为分段函数，分类讨论解不等式；
（2）先利用已知函数将所证结论进行转化变成|ab-1|＞|a-b|，再利用作差法先证|ab-1|²-|a-b|²＞0，再开方即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．…（4分）
所以不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤-5或x≥3}．…（5分）
（Ⅱ）f(ab)＞|a|f(

b

a

)即|ab-1|＞|a-b|．…（6分）
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以|ab-1|＞|a-b|．
故所证不等式成立．…（10分）

点评：本题考查解绝对值不等式和证明不等式，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想．