Question

已知数列{a_n}是公差大于零的等差数列，数列{b_n}为等比数列，且a₁=1，b₁=2，b₂-a₂=1，a₃+b₃=13
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}和{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，然后直接利用错位相减法求数列{c_n}前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q，
由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，解得：

d=-10 q=-4

，

d=2 q=2

，
∵d＞0，∴d=2，q=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，bn=2×2n-1=2n，
即an=2n-1(n∈N*)，bn=2n(n∈N*)；
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（2n-1）2ⁿ，
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n  ①，
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1  ②，
②-①得：Tn=-1×2-2×22-2×23-…-2×2n+(2n-1)×2n+1
=-2-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-2-

23(1-2n-1)

1-2

+(2n-1)×2n+1
=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．