题目内容
用反证法求证以下命题：若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2．
考点：反证法与放缩法
专题：推理和证明
分析：假设a+b＞2，再利用已知条件2=a3+b3代入，再用立方和公式因式分解，推出与a3+b3=2矛盾的结论．从而得到a+b≤2．
解答：
证明：假设a+b＞2，则b＞2-a．所以a3+b3＞a3+（2-a）3=a3+8-12a++6a2-a3=8-12a++6a2=6（a-1）2+2≥2，
即有a3+b3＞2，这与已知a3+b3=2矛盾，所以假设不成立．则有a+b≤2
∴a+b≤2．
即有a3+b3＞2，这与已知a3+b3=2矛盾，所以假设不成立．则有a+b≤2
∴a+b≤2．
点评：本题考查反证法的应用，恒等变换的技巧和基本不等式的证明等知识点，属于中档题．
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