Question

16．已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为$y=\sqrt{3}x$，则双曲线的标准方程是（　　）

• A． $\frac{{7{x^2}}}{16}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{2}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{{3{y^2}}}{23}-\frac{x^2}{23}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为$y=\sqrt{3}x$，则可以设其方程为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=λ，（λ≠0），
又由双曲线过点（2，3），
则有$\frac{{3}^{2}}{3}$-2²=λ，
解可得λ=-1，
则其方程为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=-1．即x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．