Question

9．已知下列命题：
①命题：?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³；
②若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x）；
③若f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，则?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；
④等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=3，则S₇=21；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）

Answer 1

分析 ①根据含有量词的命题的否定形式判定；
②若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x），；
③对于函数f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，当且仅当x=1时，f（x）=1；
④$\frac{7}{2}（{a}_{1}+{a}_{7}）=\frac{7}{2}×2{a}_{4}=7{a}_{4}=21$，；
⑤若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．

解答 解：对于①，命题：?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³，正确；
对于②，若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x），正确；
对于③，对于函数f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；
对于④，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=3，$\frac{7}{2}（{a}_{1}+{a}_{7}）=\frac{7}{2}×2{a}_{4}=7{a}_{4}=21$，故正确；
对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，故正确．
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题．