Question

3．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，求单调递减区间和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式结合辅助角公式进行化简即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据函数f（x）的定义域为$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，结合函数单调性和值域之间的关系即可求单调递减区间和值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=4cosxsin（x+\frac{π}{6}）-1=4cosx（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）-1$
=$4cosx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$…（4分）
所以f（x）的最小正周期为π．…（6分）
（Ⅱ）①令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，则$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，当k=0时有$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，
又∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$，∴函数f（x）的单调递减区间为$[\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$；…（9分）
②由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，于是
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$，f（x）取的最大值为2；
当$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$，即$x=-\frac{π}{6}$，f（x）取的最小值为-1．
∴函数f（x）的值域为[-1，2]…（12分）

点评 本题主要考查三角函数图象和性质，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．