Question

11．已知矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，四棱锥O-ABCD的体积为8$\sqrt{3}$，则球O的表面积为64π．

Answer 1

分析 由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

解答 解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，
∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
由矩形ABCD的面积S=AB•BC=12$\sqrt{3}$，
则O到平面ABCD的距离为h满足：$\frac{1}{3}×12\sqrt{3}h$=8$\sqrt{3}$，
解得h=2，
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=4，
故球的表面积为：4πR²=64π，
故答案为：64π．

点评 本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．